有之。而舍此数法，则凌犯，终无密合理。宜取其法参互考订，使与《大统》法会同归一。”

已而光启上历法修正十事：其一，议岁差，每岁东行渐长短之数，以正古来百年、五十年、六十年多寡互异之说。其二，议岁实小余，昔多今少，渐次改易，及日景长短岁岁不同之因，以定冬至，以正气明朔。其三，每日测验日行经度，以定盈缩加减真率，东西南北下之差，以步月离。其四，夜测月行经纬度数，以定转迟疾真率，东西北下之差，以步月离。其五，密测列宿以纬行度，以定七政盈缩、迟疾、顺逆、违离、远近之数。其六，密测五星经纬行度，以定小行度迟疾、留逆、伏见之数，东西南北下之差，以推步凌犯。其七，推变黄、赤广狭度数，密测二距度，及月五星各与黄相距之度，以定转。其八，议日月去远近及真会、视会之因，以定距午时差之真率，以正。其九，测日行，考知二极地度数，以定周天纬度，以齐七政。因月考知东西相距地经度，以定时刻。其十，依唐、元法，随地测验二极地度数，地经纬，以求昼夜晨昏永短，以正有无、先后、多寡之数。因举南京太仆少卿李之藻、西洋人能华民、邓玉涵。报可。九月癸卯开历局。三年，玉函卒，又徵西洋人汤若望、罗雅谷译书演算。光启本尚书，仍督修历法。

时巡四御史如蚊荐资县诸生冷守中历学以所呈历书送局。光启力驳其谬，并预推次年四月川时刻，令其临时比测。四年正月，光启《历书》二十四卷。夏四月戊午，夜望月，光启预推分秒时刻方位。奏言：“日随地不同，则用地纬度算其分多少，用地经度算其加时早晏。月分秒，海内并同，止用地经度推求先后时刻。臣从舆地图约略推步，开载各布政司月初亏度分，盖分多少既天下皆同，则余率可以类推，不若日之经纬各殊，心须详备也。又月一十五分，则尽暗虚亦十五分止耳。今推二十六分六十六十秒者，盖暗虚大于月，若时去稍远，即月不能全暗虚，止从月论其分数。是夕之，极近于，故月暗虚十五分方为既，更一十一分有奇，乃得生光，故为二十六分有奇。如《回回历》推十八分四十七秒，略同此法也。”已四川报次序守中所推月实差二时，而新法密合。

光启又《历书》二十一卷。冬十月辛丑朔日，新法预顺天见二分一十二秒，应天以南下，大汉以北既，例以京师见不及三分，不救护。光启言：

月在夜，加时早晚，若无定据。惟日晷定时，无可迁就。故历法疏密，此为的症。臣等纂辑新法，渐次就绪，而向生为期尚远，此时不与监臣共见，至成历后，将何徵信？且是之必当测俟，更有说焉。

旧法在正中，则无时差。今此既在日中，而新法仍有时差者，盖以七政运行皆依黄，不由赤。旧法所谓中乃之午中，非黄之正中也。黄赤二之中，独冬夏至加时正午，乃得同度。今十月朔去冬至度数尚远，两中之差，二下三度有奇，岂可因加时近午，不加不减乎？适际此日，又值此时，足可验时差之正术，二也。

本方之地经度，未得真率，则加时难定，其法心从时测验数次，乃可较勘昼一。今此依新术测候，其加时刻分，或后未合，当取从前所记地经度分，斟酌改定，此可以求里差之真率，二也。

时差一法，但知中无加减，而不知中分黄赤，今一经目见，人人知加时之因黄，因此推彼，他术皆然，足以知学习之甚易，三也。

即分数甚少，宜详加测候，以求显验。帝是其言。至期，光启率监臣预日晷，调壶漏，用测仪测甚日晷度。又于密室中斜开一隙，置窥筒、远镜以测亏圆，昼日分板分数图板以定分，其时刻、度悉合，惟甚分数未及二分。于是光启言：“今甚之度分密合，则经度里差已无烦更定矣。独分未合，原推者盖因太光大，能减月魄，必及四五分以上，乃得与原推相合，然此测，用密室窥筒，故能得此分数，倘止凭目力，或盆照映，则眩耀不定，恐少尚不止此也。”

时有满城布衣魏文魁，著《历元》、《历测》二书，令其象乾《历元》于朝，通政司送局考验。光启摘当极论者七事：其一，岁实自汉以来，代有减差，到《授时》减为二十四分二十五秒。依郭法百年消一，今当为二十一秒有奇。而《历元》用赵知微三十六秒，翻覆骤加。其一，弧背求弦矢，宜用密率。今《历测》中犹用径一围三之法，不合弧矢真数。其一，盈缩之限，不在冬夏至，宜在冬夏至后六度。今考日躔，分迄夏至，夏至迄秋分，此两限中，日时刻分不等。又立迄立夏，立秋迄立冬，此两限中，日时刻分亦不等。测量可见。其一，言太最得疾，最低得迟，且以圭表测而得之，非也。太迟疾是转内事，表测下是内事，岂容混推。而月行转周之上，又复左旋，所以最向西行极迟，最低向东行乃极疾，旧法正相反。其一，言日正午无时差，非也。时差言距，非距赤之午中，乃距黄限东西各九十度之中也。黄限之中，有距午前后二十余度者，但依午正加减，焉能必合。其一，言定限，历八度，历六度，非也。日，历当十七度，历当八度。月则历俱十二度。其一，《历测》云：“宋文帝元嘉六年十一月己丑朔，日不尽如钩，昼星见。今以《授时》推之，止六分九十六秒，郭历舛矣。”夫月天下皆同，日九服各异。南宋都于金陵，郭历造于燕地，北极地差八度，时在十一月则差当得二分弱，其云“不尽如钩”，当在九分左右。郭历推得七分弱，乃密合，非舛也。本局今定日分数，首言，次言地，次言时，一不可阙。已而文魁反覆论难，光启更申前说，著为《学历浊辨》。

其论岁实小余及日变差尤明晰。曰：“岁实小余，自汉迄元渐次消减。今新法定用岁实，更减于元。不知者必谓不惟先天，更先《大统》。乃以推壬申冬至，《大统》得已亥寅正一刻，而新法得辰初一刻十八分。何也？盖正岁年与步月离相似，冬至无定率，与定朔、定望无定率一也。朔望无定率，宜以平朔望加减之，冬至无定率，宜以平年加减之。故新法之平冬至，虽在《大统》前，而定冬至恒在《大统》后也。”又曰：“宋仁宗天圣二年甲岁，五月丁亥朔，历官推当不，诸历推算皆云当。夫于法则实当，而于时则实不。今当何以解之？盖日有变差一法，月在历，距十度，于法当。而独此日此之南北差，变为东西差，故论天行，则地心与日月相参直，实不失。而从人目所见，则日月相距近变为远，实不得。顾独汴京为然，若从汴以东数千里，则渐见，至东北万余里外，则全见也。夫变差时不同，或多变为少，或少变为多，或有变为无，或无变为有。推历之难，全在此等。”未几，光启愉阁。

五年九月十五日，月，监推初亏在卯初一刻，光启等推在卯初三刻，回回科推在辰初初刻。三法异同，致奉诘问。至期测候，云不见，无可徵验。光启陈三法不同之故，言：

时刻之加减，由于盈缩、迟疾两差。而盈缩差，旧法起冬夏至，新法起最，最有行分，惟宋绍兴间与夏至同度。郭守敬后此百年，去离一度有奇，故未觉。今最在夏至后六度。此两法之盈缩差所不同也。迟疾差，旧法只用一转周，新法谓之自行。自行之外，又有两次。此两法之迟疾差所以不同也。至于《回回历》又异者，或由于四应，或由于里差，臣实未晓其故。总之，三家俱依本法推步，不能变法迁就也。

将来有宜讲求者二端：一曰分多寡。日时，晶晃耀，每先而后见。月时，游气纷侵，每先见而后。其差至一分以上。今灼见实分，有近造窥筒，日时，于密室中取其光景，映照尺素之上，初亏至复圆。分数真确，书然不。月用以仰观二离合之际，鄞鄂著明。与目测迥异。此定分法也。一曰加时早晚。定时之术，壶漏为古法，钟为新法，然不若求端于日星，昼则用日，夜则任用一星。皆以仪测取经纬度数，推算得之。此定时法也。二法既立，则诸术之疏密，毫末莫遁矣。